QC - Kvantumszámítás vezérlése egységes operátorokkal, interferencia és összefonódás

Fotó: Sagar Dani

Nagy. Éppen befejeztük a Qubit 2. részét (Quantum bit - a kvantumszámítás alapvető építőeleme). Szóval hogyan lehet ellenőrizni? A klasszikus számítástechnikával ellentétben nem alkalmazunk logikai műveleteket vagy szokásos aritmetikát a kvitekre. A kvantumszámításban nincs „míg az utasítás” vagy az „elágazó nyilatkozat”. Ehelyett egységes operátorokat fejlesztünk ki, amelyek manipulálhatják a kvbitjeket a kvantummechanikában való interferencia elvével. Nagyon képzeletbeli, de valójában nagyon egyértelmű. Megvizsgáljuk az egységes üzemeltetők fogalmát. Mellékként megvizsgáljuk annak kapcsolatát a Schrodinger-egyenlettel, tehát nem a természettel szembeni koncepciót tervezünk. Végül megismerkedünk egy misztikus kvantum-jelenséggel.

Kvantumkapu

A klasszikus számítógépekben alapvető logikai operátorokat (NOT, NAND, XOR, AND, OR) alkalmazunk bitre, hogy összetett műveleteket hozzunk létre. Például az alábbiakban egy egybites összeadót vittünk át.

A kvantumszámítógépeknek teljesen különféle alapvető operátorai vannak, kvantumkapuknak hívják. Nem konvertálunk egy meglévő C ++ programot kvantumszámítógépen való futtatáshoz. Mindkettő eltérő operátorokkal rendelkezik, és a kvantumszámításhoz eltérő algoritmusokat kell igénybe venni. A kvantumszámításban a kvitek manipulálásával, beolvadásával és mérésével foglalkozik. Térjünk vissza a Bloch szférába. Fogalmi szempontból a kvantumszámítási műveletek manipulálják a szuperpozíció Φ és θ értékét, hogy pontokat mozgatjanak az egységgömb felszíne mentén.

Matematikai szempontból a szuperpozíciót egy lineáris U operátorral mátrix formájában manipulálják.

Egyetlen kvbit esetén az operátor egyszerűen 2 × 2 mátrix.

Schrodinger-egyenlet (opcionális)

A természet naivan egyszerűnek tűnik! A matematika csak lineáris algebra, amelyet a középiskolában tanulunk. A mérések között az állapotokat mátrixszorzóval lineáris operátorok manipulálják. Méréskor a szuperpozíció összeomlik. Ironikus módon, a linearitás nagy csalódást okoz a sci-fi rajongók számára. Ez a kvantumdinamika általános tulajdonsága. Egyébként mind az időutazás, mind a fénynél gyorsabb utazás lehetséges. Ha ezzel a lineáris operátorral kezdjük (pontosabban az egységes operátor), akkor levezethetjük a Schrodinger-egyenletet, a kvantummechanika sarokkövét annak leírására, hogy az állapotok hogyan alakulnak a kvantummechanikában. Ellenkező szempontból a Schrodinger-egyenlet a természet linearitását vonja le.

Forrás

Itt átírhatjuk a Schrodinger-egyenletet

ahol H egy remete. Bemutatja, hogy az állapotok hogyan fejlődnek a természetben lineárisan.

Az egyenlet lineáris, azaz ha mind ψ1, mind ψ2 érvényes megoldások a Schrodinger-egyenletre,

lineáris kombinációja az egyenlet általános megoldása.

Ha | 0⟩ és | 1⟩ egy lehetséges rendszerállapot, akkor a lineáris kombinációja az általános állapota lesz - ez a szuperpozíció elve a kvantumszámításban.

Egységes

Fizikai világunk nem engedi meg az összes lehetséges lineáris operátort. Az üzemeltetőnek egységesnek kell lennie, és teljesítenie kell a következő követelményt.

ahol U † az U átültetett komplex konjugátuma. Például:

Matematikailag az egységes operátor megőrzi a normákat. Ez egy csodálatos tulajdonság, hogy a teljes valószínűséget az állapot-átalakítás után egyenlővel megtartsa és megőrizze a szuperpozíciót az egységgömb felületén.

Ha az alábbiakban a Schrodinger-egyenlet megoldását nézzük, a természet ugyanazt az egységes szabályt követi. H egy hermit (az átültetett komplex konjugátum megegyezik magával). Az operátor megszorozása az átültetett komplex konjugátummal megegyezik az azonosító mátrixszal.

Az alábbiakban egy példát mutatunk H-re, ahol az E₀ egységes mágneses mező van z irányban.

Ha az egységes mûveletet | | a-re alkalmazzuk, akkor a z tengely forog.

De mi az egységes valódi jelentése a való világban? Ez azt jelenti, hogy a műveletek visszafordíthatók. Bármely lehetséges művelethez van egy másik, amely visszavonhatja a műveletet. Csakúgy, mint egy filmet néz, előre lejátszhatod, és a természet lehetővé teszi, hogy társa U † a videót hátrafelé játssza. Valójában nem veszi észre, hogy a videót előre vagy hátra játssza-e. Szinte minden fizikai törvény visszafordítható. A néhány kivételt magában foglalja a kvantumdinamika mérése és a termodinamika második törvénye. A kvantumalgoritmus tervezésekor ez nagyon fontos. Az exkluzív VAGY művelet (XOR) egy klasszikus számítógépben nem visszafordítható. Az információ elveszik. Ha 1 kimenetet adunk, akkor nem tudjuk megkülönböztetni, hogy az eredeti bemenet (0, 1) vagy (1, 0).

A kvantumszámításban az operátorokat kvantumos kapuknak nevezzük. A kvantumkapu tervezésekor meggyőződünk arról, hogy az egységes, azaz lesz egy másik kvantumos kapu, amely vissza tudja állítani az állapotot az eredeti értékéhez. Ez azóta fontos

ha egy operátor egységes, akkor megvalósítható kvantumszámítógépen.

Miután az egységet bebizonyították, a mérnököknek nem szabad gondolni annak megvalósításában, legalább elméletileg. Például az IBM Q számítógépek, amelyek szupravezető áramkörökből állnak, különböző frekvenciájú és időtartamú mikrohullámú impulzusokat használnak a kvóták vezérlésére a Bloch gömb felszínén.

Az egységesség elérése érdekében a bemenetek egy részét néha kiadjuk ennek a követelménynek a teljesítéséhez, mint például az alábbi, még akkor is, ha feleslegesnek tűnik.

Lássuk az egyik leggyakoribb kvantumos kaput, a Hadamard kaput, amelyet a lineáris operátor a következő mátrixnak határoz meg.

vagy a Dirac jelölésben

Amikor az operátort felfelé vagy lefelé forogjuk, akkor a szuperpozíciókat megváltoztatjuk:

Ha mérik, akkor mindkettőnek egyenlő esélye van felfelé vagy lefelé forogni. Ha újra alkalmazzuk a kaput, az visszatér az eredeti állapotba.

Forrás

Vagyis a Hadamard átültetett konjugátuma maga a Hadamard kapuja.

Amikor UU †-t alkalmazunk, az visszaáll az eredeti bemenetre.

Ezért a Hadamard-kapu egységes.

A kvantumszámítás interferencián és összefonódáson alapszik. Annak ellenére, hogy meg tudjuk érteni a kvantumszámítást anélkül, hogy megértenénk ezeket a jelenségeket, mutatjuk be gyorsan.

Interferencia

A hullámok építő vagy pusztító módon zavarják egymást. Például a kimenet nagyítható vagy lecsúsztatható a bemeneti hullámok relatív fázisától függően.

Mi az interferencia szerepe a kvantumszámításban? Végezzünk néhány kísérletet.

Mach Zehnder interferométer (forrás)

Az első kísérletben az összes bejövő fotont előkészítjük, hogy polarizációs állapota legyen | 0⟩. A polarizált fotonok áramát egyenletesen elosztja a B sugárirány-elosztó 45 ° -os pozíciója, azaz megosztja a sugarat két merőlegesen polarizált fényre, és külön útvonalakon távozik. Ezután tükrök segítségével tükrözzük a fotonokat két különálló detektorra, és megmérjük az intenzitást. A klasszikus mechanika szempontjából a fotonok két különálló útra osztódnak és egyenletesen érzik el az érzékelőket.

A fenti második kísérletben egy újabb sugárirányítót helyeztünk az detektorok elé. Az intuíció szerint a sugár-elválasztók egymástól függetlenül működnek, és a fényáramot felére osztják. Mindkét detektornak fel kell mérnie a fénysugarak felét. Az a valószínűsége, hogy a foton az 1-es vonallal vörös színben eléri a D₀ detektorot:

A foton teljes esélye, hogy eléri a D/2-t, 1/2 mind az 1, mind a 0 útból. Tehát mindkét detektor a fotonok felét érzékeli.

De ez nem egyezik a kísérleti eredménnyel! Csak a D₀ érzékeli a fényt. Modellezzük az állapotátmenetet egy Hadamard-kapuval ellátott sugár-elosztóhoz. Tehát az első kísérlethez az elosztó utáni fotonállapot fennáll

Ha megmérjük, akkor felének | 0 | és felének | 1⟩ lesznek. A fénysugarak egyenletesen oszlanak meg két különböző útvonalon. Tehát Hadamard-kapunk megegyezik a klasszikus számítással. De lássuk, mi történt a második kísérletben. Mint korábban bemutattuk, ha előkészítjük az összes bemenő fotont | 0⟩-ra, és átjuttatjuk két Hadamard-kapuba, akkor az összes foton ismét 0 0-lesz. Tehát amikor megmérik, csak a D₀ fogja észlelni a fénysugarat. Egyik sem fogja elérni a D₁ értéket, ha mindkét detektor előtt nem végezzünk mérést. A kísérletek megerősítik a kvantumszámítás helyességét, nem pedig a klasszikus számítást. Lássuk, milyen szerepet játszik az interferencia a második Hadamard-kapuban.

Mint az alább látható, ugyanazon számítási alap komponensei konstruktívan vagy pusztító módon zavarják egymást, hogy a helyes kísérleti eredményt kapjanak.

Készíthetjük elő a bemenő fotonnyalábot | 1⟩ értékre, és újra elvégezhetjük a számítást. Az első osztó utáni állapot π fázissal különbözik az eredetitől. Tehát ha most mérjük, akkor mindkét kísérlet ugyanazokat a méréseket fogja végezni.

Ha azonban a Hadamard-kaput ismét alkalmazzák, akkor az egyik | 0⟩, a másik | 1⟩ eredményt produkál. Az interferencia összetett lehetőségeket teremt.

Hadd csináljak még egy szórakoztató kísérletet, amely nagyon jelentős hatással van a kiberbiztonságra.

Ha egy új Dx detektorot teszünk az első osztó után, akkor a kísérlet azt mutatja, hogy mindkét detektor most érzékeli a fotonok felét. Egyezik-e a kvantummechanika számításával? Az alábbi egyenletben, amikor hozzáadunk egy mérést az első osztó után, akkor a szuperpozíció összeomlását kényszerítjük. A végeredmény különbözik attól, amely kiegészítő detektor nélkül működik, és megegyezik a kísérleti eredménnyel.

A természet azt mondja nekünk, hogy ha tudja, milyen úton halad a foton, akkor mindkét detektor a fotonok felét fogja észlelni. Valójában ezt csak egy detektorral érhetjük el, csak az egyik útvonalon. Ha a két detektor előtt nem végeznek mérést, akkor az összes foton a D₀ detektorba kerül, ha a foton | 0⟩-ra készül. Az intuíció ismét rossz következtetéshez vezet minket, miközben a kvantum egyenletek megbízhatóak maradnak.

Ennek a jelenségnek egy kritikus következménye van. A kiegészítő mérés megsemmisíti az eredeti interferenciát a példánkban. A mérés után megváltozik a rendszer állapota. Ez a kvantum-kriptográfia egyik legfontosabb motivációja. Megtervezheti egy algoritmust úgy, hogy ha egy hacker elfogja (megméri) az üzenetet közted és a feladó között, akkor észlelheti az ilyen behatolást, függetlenül attól, hogy milyen mérgező lehet. Mivel a mérés mintája eltér, ha elfogják. A klónozás nélküli tétel a kvantummechanikában azt állítja, hogy nem lehet pontosan megismételni a kvantumállapotot. Tehát a hacker nem másolhatja és nem küldheti el újra az eredeti üzenetet.

A kvantumszimuláción túl

Ha fizikus vagy, akkor kihasználhatja a kvantumos kapukban fellépő interferencia viselkedését, hogy szimulálja ugyanazt az interferenciát az atomvilágokban. A klasszikus módszerek valószínűség-elmélettel működnek, nullával nagyobb vagy egyenlő értékekkel. Feltételezi a függetlenséget, amely nem igaz a kísérletekben.

A kvantummechanizmus szerint ez a modell helytelen, és bevezet egy komplex és negatív számú modellt. A valószínűségi elmélet helyett az interferenciát használja a probléma modellezéséhez.

Szóval mi jót hoz a nem-fizikus számára? Az interferencia ugyanolyan mechanizmusként kezelhető, mint egy egységes kezelő. Kvantumszámítógépen könnyen megvalósítható. Matematikailag az egységes operátor mátrix. Ahogy a kvitek száma növekszik, az együtthatók exponenciális növekedését kapjuk, amivel játszhatunk. Ez az egységes operátor (a fizikus beavatkozása) lehetővé teszi számunkra, hogy ezeket az együtthatókat egyetlen művelettel manipuláljuk, amely megnyitja az ajtót a hatalmas adatkezelésekhez.

belekeveredés

Általánosságban a tudósok úgy gondolják, hogy a kvantumalgoritmusok összegabalyodás nélkül nem mutatnak fölényt a klasszikus algoritmusokkal szemben. Sajnos nem értjük jól az okokat, ezért nem tudjuk, hogyan lehet egy algoritmust testreszabni annak teljes lehetőségeinek kihasználása érdekében. Ez az oka annak, hogy a kvantumszámítás bevezetésekor gyakran megemlítik az összefonódást, de nem sokkal később. Ezért ebben a szakaszban megmagyarázzuk, mi is az összefonódás. Remélem, hogy te vagy a tudós, hogy megtörje a titkot.

Fontolja meg a 2-kvbit szuperpozícióját.

ahol | 10> azt jelenti, hogy két részecske lefelé és felfelé centrifugálódik.

Vegye figyelembe a következő összetett állapotot:

Feloszthatjuk az összetett állapotot két különálló állapotra, például:

Nem tudjuk, mert megköveteli:

A kvantummechanika egy nem intuitív koncepciót mutat be. A klasszikus mechanikában úgy gondoljuk, hogy az egész rendszer megértése megtehető az egyes alkotóelemek jó megértésével. De a kvantummechanikában

Mint korábban bemutattuk, modellezhetjük az összetett állapotot, és tökéletesen megtehetjük a mérési előrejelzéseket.

De nem írhatjuk le és nem érthetjük meg két független elemként.

Elképzeltem ezt a forgatókönyvet, amikor egy pár 50 évig házasodik. Mindig megegyeznek abban, hogy mit kell tenni, de nem találja meg a válaszokat, ha külön személyekként kezeli őket. Ez egy túlságosan egyszerűsített forgatókönyv. Számos lehetséges összefonódási állapot létezik

és sokkal nehezebb leírni őket, ha a kvitek száma növekszik. Kvantumműveletek végrehajtásakor tudjuk, hogy az összetevők hogyan korrelálnak (összefonódnak). Bármilyen mérés előtt a pontos értékek nyitva maradnak. Az összefonódás sokkal gazdagabb és sokkal nehezebb összefüggéseket hoz létre, ha a klasszikus algoritmus hatékonyan utánozza.

Következő

Most tudjuk, hogyan kell manipulálni a kvétákat egységes műveletekkel. De a kvantumalgoritmusok iránt érdeklõdõknek tudnunk kell, hogy mi az elsõ korlát. Ellenkező esetben figyelmen kívül hagyhatja, hogy mi nehéz a kvantumszámításban. De azok számára, akik előbb szeretnének többet megtudni a kvantumkapuról, elolvashatják a második cikket az első előtt.